Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm \(C\).

+) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

Lời giải chi tiết:

+) Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d\)\( \Rightarrow E \in BC\)

Kẻ \(AH \bot d\) \( \Rightarrow \left( {AH} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}A\left( {3;\,\,5} \right)\\{{\vec n}_{AH}} = {{\vec u}_d} = \left( { - 2;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AH:\,\,\, - 2\left( {x - 3} \right) + y - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 6 + y - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + y + 1 = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y + 1 = 0\\x + 2y - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + y + 1 = 0\\2x + 4y - 16 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {2;\,\,3} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(H\) là trung điểm của \(AE\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 2.2 - 3\\{y_E} = 2.3 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 1\\{y_E} = 1\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {1;\,\,1} \right)\)

+) Phương trình cạnh \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,E\left( {1;\,\,1} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = \left( {4;\,\,3} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {BC} \right):\,\,4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 7 = 0\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 7 = 0\\x + 2y - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 2;\,\,5} \right)\)

Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0,\,\,{a^2} + {b^2} - c > 0\)

Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4a - 10b + c = - 29\\ - 6a - 10b + c = - 34\\ - 8a + 6b + c = - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{5}{8}\\c = \frac{{ - 99}}{4}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:

\({x^2} + {y^2} - x - \frac{5}{4}y - \frac{{99}}{4} = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4x - 5y - 99 = 0\)

Chọn B.