Phương pháp giải:

+) Lập phương trình cạnh \(AB,\,\,AC\)

+) Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm nằm trên đường phân giác trong của \(\angle A.\)

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\,6} \right) = 2\left( {2;\,\,3} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)

+)\(\left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,A\left( {1;\,\, - 2} \right)\\{{\vec n}_{AB}} = \left( { - 3;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\,\,\, - 3.\left( {x - 1} \right) + 2.\left( {y + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 3x + 3 + 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 7 = 0\)

\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\,\,3x - 2y - 7 = 0.\)

+) \(\left( {AC} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,A\left( {1;\,\, - 2} \right)\\{{\vec n}_{AC}} = \left( {2;\,\,3} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {AC} \right):\,\,\,2.\left( {x - 1} \right) + 3.\left( {y + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 2 + 6 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\)

\( \Rightarrow \left( {AC} \right):\,\,2x + 3y + 4 = 0\)

Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm nằm trên đường phân giác trong của \(\angle A\)

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\left| {3x - 2y - 7} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {2x + 3y + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2y - 7 = 2x + 3y + 4\\3x - 2y - 7 = - 2x - 3y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5y - 11 = 0\\5x + y - 3 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét: \({d_1}:\,f\left( {x;\,\,y} \right) = \,x - 5y - 11 = 0\) ta có:

\(\left( {5 - 5.4 - 11} \right)\left( { - 2 - 5.0 - 11} \right) = - 26.\left( { - 13} \right) > 0 \Rightarrow B,\,\,C\) nằm cùng phía với \({d_1}\)

\( \Rightarrow {d_1}\) là đường phân giác ngoài của \(\angle A.\)

\( \Rightarrow {d_2}:\,\,5x + y - 3 = 0\) là đường phân giác trong của \(\angle A.\)

Chọn A.