Phương pháp giải:

+) Viết phương trình cạnh \(AB,\,\,AC\).

+) Gọi \(d\) là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm bất kì thuộc đường thẳng \(d.\)

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right).\)

Lời giải chi tiết:

+) Phương trình cạnh \(\left( {AB} \right):\,\,\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 2x + y = 4 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0\)

+) Phương trình cạnh \(\left( {AC} \right)\):

\(\frac{{x - {x_C}}}{{{x_C} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_C}}}{{{y_C} - {y_A}}} \Rightarrow \frac{{x - 4}}{{4 - 2}} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right) - 0}}\)

\( \Rightarrow \frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} \Leftrightarrow - x + 4 = 2y + 2\)\( \Leftrightarrow - x - 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

+) Gọi \(d\) là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {2x + y - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {x + 2y - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \left| {2x + y - 4} \right| = \left| {x + 2y - 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + y - 4 = x + 2y - 2\\2x + y - 4 = - x - 2y + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y - 2 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):{f_1}\,\left( {x;y} \right) = \,x - y - 2 = 0\\\left( {{d_2}} \right):\,\,{f_2}\,\left( {x;y} \right) = x + y - 2 = 0\end{array} \right.\)

+) Ta có: \({f_1}\left( B \right) = - 6;{f_1}\left( C \right) = 3 \Rightarrow {f_1}\left( B \right)\,\,.\,\,{f_1}\left( C \right) = - 18 < 0\)

Suy ra, \(B,\,\,C\) nằm khác phía so với \(\left( {{d_1}} \right)\)\( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right):\,\,\,x - y - 2 = 0\) là đường phân giác trong của góc \(A\) của \(\Delta ABC.\)

Chọn A.