Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{2x + 1}} - 1}}{x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2x + 1} \right) - 1}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{2x + 1}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{2x + 1}} + 1} \right)}} = \dfrac{2}{3}\\f\left( 0 \right) = m\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}.\)

Chọn C.