Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Tìm các nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

- Xét các trường hợp, lập bảng xét dấu của \(y'\) và tìm điều kiện để hàm số có \(y' > 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\)

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3 - 2m\end{array} \right.\)

TH1: \(3 - 2m = - 1 \Leftrightarrow m = 2\), khi đó ta có \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow m = 2\) thỏa mãn.

TH2: \(3 - 2m > - 1 \Leftrightarrow m < 2\).

Ta có bảng xét dấu \(y'\):

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(3 - 2m \le 1 \Leftrightarrow m \ge 1\).

Kết hợp điều kiện ta có \(1 \le m < 2\).

TH3: \(3 - 2m < - 1 \Leftrightarrow m > 2\).

Ta có bảng xét dấu \(y'\):

Dựa vào BBT ta thấy trong trường hợp này hàm số luôn đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Kết hợp các TH ta có: \(m \ge 1\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m < 5 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn: C.