Phương pháp giải:

Xét dấu \(y'\) và kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\); nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\).

Chọn A.