Phương pháp giải:

Tìm chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

Tìm góc giữa mp\(\left( {SCD} \right)\) và mp\(\left( {ABCD} \right)\) rồi tính góc đó.

Lời giải chi tiết:

Qua \(S\) kẻ \(SH \bot AB\)\(\left( {H \in AB} \right)\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB\\SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Qua \(H\) kẻ \(HK//AD\) mà \(AD \bot CD\) nên \(HK \bot CD\) (1)

\(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot CD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK\)

Suy ra góc tạo bởi hai mp \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SK\) và \(HK\) hay \(\beta = \widehat {SKH}\)

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) có đường cao \(SH\) nên \(\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{S{B^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2} - S{A^2}}} \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

\(HK//AD \Rightarrow HK = AD = 2a\)

Suy ra \(\tan \beta = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Chọn A.