Phương pháp giải:

\(d = UCLN\left( {a\,;\,\,b} \right)\,\,\,\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Biểu diễn \(a,\,\,b\) thông qua \(d\) ; biểu diễn \(BCNN\left( {a;b} \right)\)thông qua \(a,\,\,b,\,\,d\) và dựa vào giả thiết tổng của \(UCLN\) và \(BCNN\) là \(10\) để tìm \(a\,,\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d = UCLN\left( {a\,;\,\,b} \right)\, \,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = d.m\,\,;\, & b = d.n & \left( {\left( {m\,;\,\,n} \right) = 1\,\,;\,\,\,m > n} \right)\\ \Rightarrow BCNN\left( {a\,;\,\,b} \right) = d.m.n\end{array}\)

Ta có: \(BCNN\left( {a\,;\,\,b} \right) + UCLN\left( {a\,;\,\,b} \right) = 10\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d.m.n + d = 10\\ \Rightarrow d.\left( {m.n + 1} \right) = 10\end{array}\)

\( \Rightarrow 10\) chia hết cho \(d\).

Mà \(d \in {\mathbb{N}^*}\,\,\, \Rightarrow d \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,5\,;\,\,10} \right\}\)

+) Với \(d = 1\) thì \(m.n + 1 = 10\,\, \Rightarrow m.n = 10 - 1 = 9\)

Mà \(\left( {m\,;\,\,n} \right) = 1\,\,;\,\,m > n\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 9\\n = 1\end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 1\end{array} \right.\)

+) Với \(d = 2\) thì \(m.n + 1 = 5\, \Rightarrow m.n = 5 - 1 = 4\)

Mà \(\left( {m\,;\,\,n} \right) = 1\,\,;\,\,m > n\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 1\end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right.\)

+) Với \(d = 5\) thì \(m.n + 1 = 2\,\, \Rightarrow m.n = 2 - 1 = 1\)

Mà \(\left( {m\,;\,\,n} \right) = 1\,\,;\,\,m > n\,\,\, \Rightarrow \) không có giá trị \(m,\,\,n\) thỏa mãn.

+) Với \(d = 10\) thì \(m.n + 1 = 1\,\, \Rightarrow m.n = 1 - 1 = 0\) (Vô lí)

Vậy các cặp \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thỏa mãn đề bài là \(\left( {9;\,\,1} \right)\,;\,\,\,\,\,\,\left( {8;\,\,2} \right).\).

Chọn A.