Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ta thực hiện các bước sau :

+ Xác định giao tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

+ Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) xác định đường thẳng \(a \bot d,\) trong mặt phẳng \(\left( Q \right)\) xác định đường thẳng \(b \bot d.\)

+ Khi đó góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AM \bot BC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Lại có \(\Delta SAB = \Delta SAC\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SC\) hay \(\Delta SBC\) cân tại \(S\)

\( \Rightarrow SM \bot BC.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC;\,\,\,AM \subset \left( {ABC} \right)\\SM \bot BC;\,\,SM \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA\)

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}{a^2}\sin {120^0} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Theo đề bài \({V_{S.ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}} \Rightarrow \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} \Leftrightarrow SA = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}:\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{a}{2}.\)

Lại thấy \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\) có \(AB = a;\,\,\,\angle ABM = \dfrac{{{{180}^0} - \angle BAC}}{2} = {30^0}\).

\( \Rightarrow AM = AB.\sin 30^\circ = \dfrac{a}{2}\).

Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(SA = AM = \dfrac{a}{2}\) nên \(\Delta SAM\) vuông cân tại \(A\) hay \(\angle SMA = {45^0}\)

Vậy góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(45^\circ .\)

Chọn D.