Phương pháp giải:

\(\left( {DMN} \right),\left( {ABC} \right)\) vuông góc với nhau \( \Rightarrow \left( {DMN} \right)\) luôn đi qua đường cố định là đường vuông góc kẻ từ D đến (ABC). Bài toán: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, đường thẳng qua G cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Ta chứng minh được: \(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3\). Thật vậy, Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

Dựng GP // AB, GQ // AC, \(\left( {P \in AC,\,\,Q \in AB} \right)\).

Ta có: \(\dfrac{{GP}}{{AB}} = \dfrac{{GK}}{{BK}} = \dfrac{1}{3},\,\,\dfrac{{GQ}}{{AC}} = \dfrac{{GI}}{{IC}} = \dfrac{1}{3}\)

Lại có: \(\dfrac{{GP}}{{AM}} = \dfrac{{GN}}{{MN}},\,\,\,\,\dfrac{{GQ}}{{AN}} = \dfrac{{GM}}{{MN}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AM}} = 3.\dfrac{{GN}}{{MN}},\,\,\dfrac{{AC}}{{AN}} = 3.\dfrac{{GM}}{{MN}} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3\) (đpcm).

Lời giải chi tiết:

Gọi G là tâm của tam giác đều ABC. Do \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(DG \bot \left( {ABC} \right)\)

Ta có: \(\left( {DMN} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {DMN} \right) \supset DG \Rightarrow G \in MN\)

Áp dụng bài toán đã chứng minh ở trên, ta có:

\(\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 \Leftrightarrow x + y = 3xy\).

Chọn: B