Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{ - {x^2} - x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}} = \dfrac{{ - 3}}{{ - 4}} = \dfrac{3}{4}\\f\left( { - 2} \right) = - a\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = - 2\) khi: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow - a = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{4}.\)

Chọn C.