Bài 8 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin x + \sin 2x = \cos x + 2 \cos^2 x\) là:

A. \({\pi \over 6}\) B. \({{2\pi } \over 3}\)

C. \({\pi \over 4}\) D. \({\pi \over 3}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(sinx + sin2x = cosx + 2cos^2x \)

\(⇔ sinx + 2sinxcosx = cosx + 2cos^2x\)

\(⇔ sinx(1 + 2cosx) = cos (1 + 2cosx) \)

\(⇔ (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
1 + 2\cos x = 0 \hfill \cr
\sin x - \cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr
\tan x = 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : \(x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = {{2\pi } \over 3}\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = - {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = - {{2\pi } \over 3} + 2\pi = {{4\pi } \over 3}\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = {\pi \over 4} + k\pi \Rightarrow x = {\pi \over 4}\)

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x = {\pi \over 4}\)

Chọn đáp án C.

Cách khác:

Thay các nghiệm ở mỗi đáp án vào phương trình ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \frac{\pi }{4},x = \frac{{2\pi }}{3}\) thỏa mãn phương trình.

Do \(\frac{\pi }{4} < \frac{{2\pi }}{3}\) nên ta chọn nghiệm \(x = \frac{\pi }{4}\).

xemloigiai.com