Bài 6 trang 126 SGK Hình học 11

a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau BD' và B'C.

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).

a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(BD'\) và \(B'C\).

b)Tính khoảng cách của hai đường thẳng \(BD'\) và \(B'C\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

a) \(AB ⊥ (BCC’B’) ⇒ AB ⊥ B’C\)

\(BCC’B’\) là hình vuông có \(BC’ ⊥ B’C\)

\(⇒ B’C ⊥ (ABC’D’)\)

Trong mặt phẳng \((ABC’D’)\), kẻ \(IK ⊥ BD’\).

Vì \(B’C ⊥ (ABC’D’) ⇒ B’C ⊥ IK\)

Kết hợp với \(IK ⊥ BD’ \) \( ⇒ IK\) là đường vuông góc chung của \(B’C\) và \(BD’\)

b) Ta có: \(d\left( {B'C,BD'} \right) = IK\)

\(C'B = \sqrt {C{B^2} + B'{B^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

\(D'B = \sqrt {C'{B^2} + C'D{'^2}} \) \( = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Xét \(∆BIK\) và \(∆BD’C’\) có:

B chung

\(\widehat {BC'D'} = \widehat {BKI} = {90^0}\)

Suy ra \(∆BIK \backsim ∆BD’C’\) (g-g)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{IK} \over {D'C'}} = {{BI} \over {B{\rm{D}}'}} \cr
& \Rightarrow IK = {{BI.D'C'} \over {B{\rm{D}}'}} \cr} \).

Mà \(BI = \dfrac{1}{2}BC' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên:

\(IK = \dfrac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy \(d\left( {B'C,BD'} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \)

xemloigiai.com

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close