Câu 4.27 trang 138 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng caoChứng minh Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn LG a Cho một số \(h > 0.\) Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng \({\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}{h^2}\) Lời giải chi tiết: \({\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}{h^2}\) (1) +) Với n = 1, (1) đúng +) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là \({\left( {1 + h} \right)^k} \ge 1 + kh + {{k\left( {k - 1} \right)} \over 2}{h^2}\) Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 LG b Chứng minh rằng nếu \(q > 1\) thì \(\lim {{{q^n}} \over n} = + \infty \) Lời giải chi tiết: Vì \(q > 1\) nên tồn tại số dương h sao cho \(h = q - 1 > 0.\) Từ bất đẳng thức trong câu a) suy ra \({q^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}{h^2}\) Do đó \({{{q^n}} \over n} \ge {{{h^2}} \over 2}\left( {n - 1} \right)\) với mọi n Vì \(\lim {{{h^2}} \over 2}\left( {n - 1} \right) = + \infty \) nên từ đó suy ra \(\lim {{{q^n}} \over n} = + \infty \) LG c Cho \(q > 1.\) Tìm \(\lim {n \over {{q^n}}}\) Hướng dẫn: b) Đặt \(q = 1 + h\) và áp dụng a) Lời giải chi tiết: Từ b) suy ra \(\lim {n \over {{q^n}}} = 0\) xemloigiai.com
|