Câu 3.24 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng caoCho dãy số Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Cho dãy số \(({v_n})\) xác định bởi \({v_1} = 1\) và \({v_{n + 1}} = - {3 \over 2}v_n^2 + {5 \over 2}{v_n} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\) LG a Hãy tính \({v_2},{v_3}\) và \({v_4}.\) Lời giải chi tiết: Ta có \(\eqalign{ LG b Chứng minh rằng \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1.\) Lời giải chi tiết: Ta sẽ chứng minh \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp. Từ giả thiết của bài ra và kết quả của phần a) ta có \({v_1} = {v_4}.\) Như vậy, ta có đẳng thức cần chứng minh khi \(n = 1.\) Giả sử đã có đẳng thức nói trên khi \(n = k,k \in N^*,\) ta sẽ chứng minh ta cũng có đẳng thức đó khi \(n = k + 1.\) Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số \(({v_n})\) và giả thiết quy nạp ta có \({v_{k + 4}} = - {3 \over 2}v_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{v_{k + 3}} + 1 \) \(= - {3 \over 2}v_k^2 + {5 \over 2}{v_k} + 1 = {v_{k + 1}}\) Từ các chứng minh trên suy ra ta có \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1.\)
xemloigiai.com
|