Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.

a. Tính độ dài AD.

b. Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D

c. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a. Ta có: CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)

mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC.

Trong tam giác vuông ABC ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {b^2}$

Trong tam giác vuông ACD ta có:

$A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

Suy ra: $AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

b. Ta có: $AB \bot BC$ và $AB \bot CD$ suy ra AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD.

Gọi I là trung điểm AD ta có:

+) Tam giác ACD vuông tại C có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: $IA = IC = ID = \frac{{AD}}{2}\left( 1 \right)$

+) Tam giác ABD vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: $$IA = IB = ID = \frac{{AD}}{2}\left( 2 \right)$$

Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB = IC = ID

Vây I cách đều A, B, C, D.

c. Ta có: $AB \bot \left( {BCD} \right)$ $\Rightarrow BD$ là hình chiếu của $AD$ trên $\left( {BCD} \right)$.

Khi đó góc $\widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,BD} \right)} = \widehat {ADB}$.

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $B$ thì $\sin \widehat {ADB} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ $\Rightarrow \widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \arcsin \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Lại có $DC \bot \left( {ABC} \right)$ $\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $AD$ trên $\left( {ABC} \right)$.

Khi đó góc $\widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,AC} \right)} = \widehat {DAC}$

Xét tam giác $ACD$ vuông tại $C$ thì $\sin \widehat {DAC} = \dfrac{{CD}}{{AD}} = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ $\Rightarrow \widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \arcsin \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

xemloigiai.com