Bài tập 17 trang 135 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1Giải bài tập Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K. Đề bài Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K. a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật. b) Chứng minh HG = GK = KE. Lời giải chi tiết
a) Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I (gt) I là trung điểm của AC (gt); Và I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I) Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành. Mà \(\widehat {AHC} = {90^0}\) (AH là đường cao của tam giác ABC) Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật. b) \(MAHC\) có: HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của AC) Và AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của HC) Mà HI cắt AM tại G (gt) Do đó G là trọng tâm của tam giác AHC \( \Rightarrow HG = {2 \over 3}HI\) và \(GI = {1 \over 3}HI\,\,\left( 1 \right)\) \(\Delta AEC\) có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K. \( \Rightarrow K\) là trọng tâm của tam giác AEC \( \Rightarrow KE = {2 \over 3}IE\) và \(KI = {1 \over 3}IE\,\,\left( 2 \right)\) \(HI = IE\) (E đối xứng với H qua I) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra \(HG = KE = {2 \over 3}IE\). Ta có: \(GK = GI + IK = {1 \over 3}IE + {1 \over 3}IE = {2 \over 3}IE \Rightarrow HG = KE = GK\left( { = {2 \over 3}IE} \right)\) xemloigiai.com
|