Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là \(x\), \(y\) và 0,6 (với\(x > y\)). Biết xác suất ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.
Đáp án : A
Đây là bài toán ngược :
Phương pháp : xây dựng được phương trình từ đó giải xác suât ban đầu
Sử dụng tính chất nhân xác suất khi \({A_1},{A_2}....{A_n}\)là các biến cố độc lập nhau ta có công thức nhân xác suất :
\(P\left( {{A_1} \cap {A_2}.... \cap {A_n}} \right) = P({A_1}).P\left( {{A_2}} \right)...P\left( {{A_n}} \right)\)
Gọi \({A_i}\) là biến cố “người thứ \(i\) ghi bàn” với \(i = 1;\;2;\;3.\)
Ta có các \({A_i}\) độc lập với nhau và \(P\left( {{A_1}} \right) = x,P\left( {{A_2}} \right) = y,P\left( {{A_3}} \right) = 0,6\).
Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”
C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”
Ít nhất 1 trong 3 cầu thử ghi bàn : lấy tổng số trường hợp trừ đi trường hợp tất cả đều không ghi bàn :
Ta có: số TH tất cả các cầu thủ không ghi bàn : \(\bar A{\rm{\;}} = \overline {{A_1}} .\overline {{A_2}} .\overline {{A_3}} {\rm{\;}} \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = 0,4(1 - x)(1 - y)\)
Nên Ít nhất 1 trong 3 cầu thủ ghi bàn là : \(P(A) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,4(1 - x)(1 - y) = 0,976\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) = \frac{3}{{50}} \Leftrightarrow xy - x - y = {\rm{\;}} - \frac{{47}}{{50}}\) (1).
Tương tự: cả 3 cầu thủ ghi bàn :\(B = {A_1}.{A_2}.{A_3}\), suy ra:
\(P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = 0,6xy = 0,336\) hay là \(xy = \frac{{14}}{{25}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{xy = \frac{{14}}{{25}}}\\{x + y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{3}{2} - x}\\{{x^2} - \frac{3}{2}x + \frac{{14}}{{25}} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,8}\\{y = 0,7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,7}\\{y = 0,8}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
Theo giả thiết ta có \(x > y \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,8}\\{y = 0,7}\end{array}} \right..\)
Ta có: TH có đúng 2 cầu thủ ghi bàn :\(C = \overline {{A_1}} {A_2}{A_3} + {A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + {A_1}{A_2}\overline {{A_3}} \)
Nên \(P(C) = (1 - x)y.0,6 + x(1 - y).0,6 + xy.0,4 = 0,452\).
Đáp án A.
Các bài tập cùng chuyên đề
Với b,c là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}b \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}c\), khẳng định nào dưới đây là đúng?
Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AA' = 3a.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Cho hình lập phương \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\) (tham khảo hình vẽ).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\). Giá trị của \({\rm{sin}}\varphi \) bằng
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\)là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy, \(SA = a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là
Có hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,8; người thứ hai bắn trúng bia là 0,6. Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là:
Cho hình chóp \(S.ABC,{\mkern 1mu} SA\) vuông góc với đáy, \(J\) là hình chiếu của \(A\) trên BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?