Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2a\sqrt 3 \).
a) Chứng minh \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\), \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
b) Tính góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
c) Tính góc giữa mặt phẳng \((SBD)\) và mặt phẳng \((ABCD)\).
d) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng\(\left( {SBD} \right)\) và khoảng cách từ trọng tâm \(G\) của tam giác SAB đến mặt phẳng \((SBD)\).
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d \bot \left( P \right)}\\{\left( Q \right) \supset d}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).
b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
d) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right)}\\{BC \bot SA{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot SA{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\\{BD \bot AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SB} \right)} = \widehat {CSB}\).
Trong tam giác SBC vuông tại \(B\) ta có :
\(\begin{array}{*{20}{l}}{SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {12{a^2} + 4{a^2}} {\rm{\;}} = 4a}\\{BC = 2a \Rightarrow \tan \widehat {CSB} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {CSB} \approx 26^\circ 34'}\end{array}\)
Vậy \(\widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} \approx 26^\circ 34'\).
c) Gọi \(O = AC \cap BD\). Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD}\\{\left( {SBD} \right) \supset SO \bot BD}\\{\left( {ABCD} \right) \supset AO \bot BD}\end{array}} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SO;AO} \right)} = \widehat {SOA}\).
ABCD là hình vuông cạnh \(2a \Rightarrow AC = BD = 2a\sqrt 2 {\rm{\;}} \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = a\sqrt 2 \).
Trong tam giác vuông SAO ta có :
\(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} {\rm{\;}} = a\sqrt {14} \).
\( \Rightarrow \tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 7 {\rm{\;}} \Rightarrow \widehat {SOA} \approx 69^\circ 18'\).
Vậy \(\widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} \approx 69^\circ 18'\).
d) Trong \(\left( {SAO} \right)\) kẻ \(AH \bot SO{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in SO} \right)\).
Ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot BD}\\{AH \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOA ta có:
\(AH = \frac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 .a\sqrt 2 }}{{\sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}\).
Trong \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(I = AG \cap SB\) ta có: \(AG \cap \left( {SBD} \right) = I\).
\( \Rightarrow \frac{{d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{GI}}{{AI}} = \frac{1}{3} \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {21} a}}{{21}}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Ba người cùng bắn vào một bia một cách độc lập. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thử ba bắn trúng đích lần lượt là 0,5 ; 0,6 và 0,8 . Xác suất để có ít nhất 2 người bắn trúng đích là bao nhiêu?
Cho đồ thị \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 1}}{{x + 4}}\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 9x + 5\).
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \ln \left( { - {x^2} - 3x + 4} \right)\)
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), trong đó \(a \bot \left( P \right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - 3x} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 25} \right) - 6} \right] < 0\)?
Cho bất phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} - x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x - 1}}\) có tập nghiệm \(S = \left( {a;b} \right)\). Giá trị của \(b - a\) bằng
Năm 2024 , một hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe \(X\) là 900.000 .000 đồng và dự định trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm giảm \(2\% \) giá bán so với giá bán năm trước. Theo dự định đó, năm 2029 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe \(X\) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?
Đạo hàm của hàm số \(y = 4\sqrt x {\rm{ \;}} - \frac{5}{x}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Một hộp có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp. Xét các biến cố sau:
\(P\) : "Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 2".
\(Q\) : "Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 4".
Khi đó biến cố \(P \cap Q\) là
Cho \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) là hai biến cố độc lập cùng liên quan đến phép thử \(T\), xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(\frac{1}{2}\), xác suất xảy ra biến cố \(B\) là \(\frac{1}{4}\). Xác suất để xảy ra biến cố \(A\) và \(B\) là:
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng \(\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).