1. Thả một vật dụng không thấm nước hình chóp tứ giác đều như hình bên vào một chiếc bình đang chứa 780 ml nước. Hỏi nước có tràn ra khỏi bình không, biết rằng vật chìm hẳn xuống nước và dung tích của bình là \(1000ml\).
2. Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 2cm,AC = 4cm\). Qua B dựng đường thẳng cắt AC tại D sao cho \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\).
a) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$
b) Tính AD và DC.
c) Gọi AH là đường cao của \(\Delta ABC\), AE là đường cao của \(\Delta ABD\). Chứng minh rằng diện tích \(\Delta ABH\) gấp 4 lần diện tích \(\Delta ADE\).
1. Để xác định xem nước có tràn ra khỏi bình hay không, ta cần tính dung tích của vật dụng hình chóp tứ giác đều.
2. a) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ theo trường hợp góc – góc.
b) Từ $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau suy ra \(A{B^2} = AC.AD\), từ đó ta tính AD và DC.
c) Chứng minh $\Delta ADE\backsim \Delta ABH$ theo trường hợp góc – góc suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng để chứng minh.
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông chứng minh.
1. Thể tích của vật dụng hình chóp tứ giác đều là:
\(V = \frac{1}{3}{.12.8^2} = 256\left( {c{m^3}} \right)\)
Mà \(256c{m^3} = 256ml\)
Sau khi thả vật dụng đó vào chiếc bình thì lượng nước dâng lên thành \(780 + 256 = 1036\left( {ml} \right) > 1000ml\).
Vậy khi thả vật vào bình thì nước sẽ bị tràn.
2.
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) (gt)
\(\widehat {BAC}\) chung
Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ (g.g). (đpcm)
b) Vì $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ (cmt) suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) nên \(A{B^2} = AC.AD\).
Suy ra \({2^2} = 4.AD\) hay \(AD = 1\left( {cm} \right)\).
Suy ra \(CD = AC - AD = 4 - 1 = 3\left( {cm} \right)\)
c) Do $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\).
Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta AHB\) có:
\(\widehat E = \widehat H = {90^0}\)
\(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)(cmt)
Suy ra $\Delta ADE\backsim \Delta ABH\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).
Do đó \(BH = 2DE;AH = 2AE\).
Từ đó suy ra \({S_{\Delta ABH}} = \frac{1}{2}BH.AH = \frac{1}{2}\left( {2DE} \right)\left( {2AE} \right) = 4.\frac{1}{2}DE.AE = 4{S_{\Delta ADE}}\) (đpcm).
Các bài tập cùng chuyên đề
1. Giải các phương trình sau:
a) \(7 - \left( {2x + 4} \right) = - \left( {x + 4} \right)\)
b) \(\frac{{1 - 3x}}{6} + x - 1 = \frac{{x + 2}}{2}\)
2. Cho hai hàm số \(d:y = x + 3\) và \(d':y = \left( {m - 2} \right)x + 1\) (m là tham số).
a) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số d’ đi qua điểm \(M\left( {3; - 2} \right)\)
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số trên là hai đường thẳng cắt nhau.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Trong hội thi STEM của một trường trung học cơ sở, ban tổ chức đưa ra quy tắc chấm thi cho bài thi gồm 25 câu hỏi như sau: Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được 4 điểm, nếu trả lời không đúng thì không được điểm, nếu không trả lời thì được 1 điểm. Một học sinh làm bài thi và có số câu trả lời đúng gấp 2 lần số câu trả lời không đúng, kết quả đạt 79 điểm. Hỏi bài thi của học sinh đó có bao nhiêu câu trả lời đúng? Bao nhiêu câu trả lời không đúng? Bao nhiêu câu không trả lời?
Hai ban An và Bình chơi 1 ván oẳn tù tì gồm 12 lần theo luật chơi: Búa (B) thắng Kéo (K), Kéo (K) thẳng Lá (L), Lá (L) thẳng Búa (B) và hòa nhau nếu cùng loại. Sau đây là kết quả của mỗi ván chơi:
Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “An không thắng Bình”.
Giải phương trình \(\frac{{x - 15}}{{17}} + \frac{{x - 36}}{{16}} + \frac{{x - 58}}{{14}} + \frac{{x - 76}}{{12}} = 14\).
Để giải phương trình \(\frac{{2x - 3}}{4} - \frac{{1 - x}}{5} = 1\), một bạn học sinh thực hiện như sau:
Bước 1: \(\frac{{5\left( {2x - 3} \right)}}{{20}} - \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{{20}} = 1\)
Bước 2: \(10x - 15 - 4 + 4x = 1\)
Bước 3: \(14x - 19 = 1\)
Bước 4: \(14x = 20\)
Bước 5. \(x = \frac{{20}}{{14}} = \frac{{10}}{7}\)
Bạn học sinh thực hiện giải như vậy là:
Cho đường thẳng d là đồ thị của hàm số \(y = 3x - \frac{1}{2}\). Giao điểm của d với trục tung là điểm nào sau đây?
Cho đường thẳng \(d:y = mx - 5\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\). Hệ số góc của đường thẳng d là:
Một hộp có 5 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu xanh. Nếu bạn lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xác suất để lấy được quả bóng màu đỏ là bao nhiêu?
Trong trận chung kết bóng đá World Cup năm 2022 giữa hai đội Argentina và Pháp, để dự đoán kết quả, người ta bỏ cùng loại thức ăn vào hai hộp giống nhau, một hộp có gắn cờ Argentina, một hộp gắn cờ Pháp và cho Paul chọn hộp thức ăn. Người ta cho rằng nếu Paul chọn hộp gắn cờ nước nào thì đội bóng của nước đó thắng. Paul chọn ngẫu nhiên một hộp. Tính xác suất để Paul dự đoán đội Pháp thắng.
Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là các hình gì?
Một khúc gỗ trang trí có dạng hình chóp tam giác đều. Biết diện tích đáy của khúc gỗ bằng \(42c{m^2}\), thể tích của khúc gỗ bằng \(84c{m^3}\), chiều cao của khúc gỗ bằng:
