Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn (AB < AC). Kẻ đường cao AH, từ H kẻ HD và HE lần lượt vuông góc với AB và AC (\(D \in AB,E \in AC\)).
a) Chứng minh $\Delta AHD\backsim \Delta ABH$.
b) Chứng minh AD.AB = AE.AC.
c) Gọi I là trung điểm của HC. Điểm F là chân đường vuông góc hạ từ I đến AC.
Chứng minh \(C{A^2} - H{C^2} = A{F^2} - C{F^2}\)
a) Chứng minh tam giác AHD và tam giác ABH đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
b) Chứng minh $\Delta AHE\backsim \Delta ACH$ suy ra \(A{H^2} = AE.AC\)
Dựa vào ý a suy ra \(A{H^2} = AB.AD\), ta được điều phải chứng minh.
c) Dựa vào định lí Pythagore suy ra \(C{A^2} - H{C^2} = A{H^2}\).
Chứng minh F là trung điểm của EC.
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để suy ra \(A{F^2} - C{F^2} = A{H^2}\).
Ta được điều phải chứng minh.
a) Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta ABH\) có:
\(\widehat {ADH} = \widehat {BHA} = {90^0}\)
\(\widehat {BAH}\) chung
nên $\Delta AHD\backsim \Delta ABH\left( g.g \right)$ (đpcm)
b) Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta ACH\) có:
\(\widehat {AEH} = \widehat {AHC} = {90^0}\)
\(\widehat {HAC}\) chung
nên $\Delta AHE\backsim \Delta ACH\left( g.g \right)$
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\). Do đó \(A{H^2} = AE.AC\) (1)
$\Delta AHD\backsim \Delta ABH\left( cmt \right)$ suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\). Do đó \(A{H^2} = AB.AD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB.AD = AC.AE\) (đpcm)
c) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ACH, ta có:
\(C{A^2} - H{C^2} = A{H^2}\) (3)
Xét tam giác CHE có:
I là trung điểm của CH
\(FI//EH\left( {FI \bot AC,HE \bot AC} \right)\)
nên FI là đường trung bình của tam giác CHE.
Suy ra F là trung điểm của CE hay EF = FC.
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
\(\begin{array}{l}A{F^2} - C{F^2} = \left( {AF - CF} \right)\left( {AF + CF} \right)\\ = \left( {AF - EF} \right).AC\\ = AE.AC = A{H^2}\,(4)\end{array}\)
Từ (3) và (4) suy ra \(C{A^2} - H{C^2} = A{F^2} - C{F^2}\). (đpcm)
Các bài tập cùng chuyên đề
1. Giải các phương trình sau:
a) \(2\left( {x - 3} \right) = 5\left( {x - 2} \right) + 8\)
b) \(\frac{{x - 1}}{9} + \frac{{x - 3}}{7} = 2\)
2. Cho hàm số \(y = - 2x + 5\) có đồ thị (d).
a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đồ thị (d). Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với các trục tọa độ Ox, Oy. Tính diện tích tam giác OAB.
b) Viết phương trình đường thẳng (d’) qua \(M\left( {1;5} \right)\) và song song với (d).
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Tổ sản xuất được giao dệt một số thảm trong 20 ngày. Nhưng do tổ tăng năng suất 20% nên đã hoàn thành sau 18 ngày. Không những vậy mà tổ còn làm thêm được 24 chiếc thảm. Tính số thảm thực tế tổ sản xuất làm được.
Một cuốn lịch để bàn có hình dạng là một hình chóp tam giác đều có các mặt là các tam giác đều có cạnh bằng 20cm. Tính thể tích của cuốn lịch. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Ở một trang trại nuôi chim cút, người ta nhận thấy xác suất một quả trứng cút có cân nặng dưới 9g là 0,5. Hãy ước lượng xem trong một lô 3000 quả trứng cút của trang trại có khoảng bao nhiêu quà trứng có cân nặng dưới 9g.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
Một ô tô đi từ A đến B từ 6 giờ sáng, lúc 7 giờ sáng cùng ngày, một xe khách cũng đi từ A và tới B cùng lúc với ô tô. Vậy nếu gọi thời gian đi của xe khách là x ( giờ) thì thời gian đi của ô tô là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2x + 1\), điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số
Giá trị m để đường thẳng \(y = mx - 4\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 1\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
Một túi đựng các viên kẹo giống hệt nhau, chỉ khác màu nhau, trong đó có 6 viên kẹo màu cam, 3 viên kẹo màu đỏ, 7 viên kẹo màu trắng. An lấy ngẫu nhiên một viên kẹo trong túi. Tính xác suất lấy được viên kẹo màu cam.
Một cửa hàng thống kê số lượng các loại điện thoại bán được trong một năm vừa qua như sau:
Tính xác suất thực nghiệm của biến cố E: “Chiếc điện thoại loại A được bán năm đó của của hàng”.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trong các khẳng định sau đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1) \(A{B^2} = BH.CH\)
(2) \(A{C^2} = CH.BC\)
(3) \(B{C^2} = AB.AC\)
Cho hình bình hành ABCD, kẻ \(AH \bot CD\) tại H; \(AK \bot BC\) tại K. Chọn câu trả lời đúng.
