Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M sao cho AM là phân giác của góc BAC, lấy điểm N và P thuộc AC sao cho MN và MP lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:
a) $\Delta MPC\backsim \Delta ABC$.
b) \(\frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}\).
c) \(MP = MB\).
a) Chứng minh tam giác MPC và tam giác ABC đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
b) Dựa vào tính chất đường phân giác trong tam giác suy ra \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Cộng cả hai vế với 1 để suy ra \(\frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}\).
c) Kẻ MD vuông góc với AB tại D. Chứng minh \(\Delta MPN = \Delta MBD\left( {ch - gn} \right)\) suy ra \(MP = MB\)
a) Xét \(\Delta MPC\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat {PMC} = \widehat {BAC} = {90^0}\)
\(\widehat C\) chung
nên $\Delta MPC\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$ (đpcm)
b) Vì AM là tia phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Cộng cả hai vế với 1 ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{BM}}{{MC}} + 1 = \frac{{AB}}{{AC}} + 1\\\frac{{BM + MC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}\\\frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}(dpcm)\end{array}\)
c) Kẻ MD vuông góc với AB tại D.
Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta ANM\) có:
\(\widehat D = \widehat N\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat {DAM} = \widehat {NAM}\) (AM là tia phân giác của góc BAC)
AM chung
Suy ra \(\Delta ADM = \Delta ANM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra DM = NM (hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MPN\) có:
\(\widehat D = \widehat N\left( { = {{90}^0}} \right)\)
DM = NM (cmt)
\(\widehat {BMD} = \widehat {PMN}\) (cùng phụ với \(\widehat {DMP}\))
Suy ra \(\Delta MBD = \Delta MPN\) (g.c.g)
Suy ra \(MB = MP\) (hai cạnh tương ứng) (đpcm).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = - 3x\) và đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = x + 2\).
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm a, b để đi qua điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) và song song với \(\left( {d'} \right)\).
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB, xe con tăng vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại thì đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút. Tính quãng đường AB.
Bộ đồ chơi gồm có chim đại bàng và hình chóp để giữ thăng bằng. Biết hình chóp để giữ thăng bằng là hình chóp tứ giác đều có cạnh 40mm, chiều cao hình chóp đều đó là 52mm. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nam bỏ một số viên bi xanh và đỏ có kích thước và khối lượng giống nhau vào túi. Mỗi lần Nam lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi, xem màu của nó rồi trả lại túi. Lặp lại phép thử đó 100 lần, Nam thấy có 40 lần mình lấy được bi đỏ. Biết rằng trong túi có 9 viên bi xanh, hãy ước lượng trong xem trong túi có bao nhiên viên bi đỏ.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
Giá trị m để đường thẳng \(y = \left( {m + 1} \right)x + 2\) song song với đường thẳng \(y = - 2x\) là:
Một hộp chứa 16 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 11 đến 26. An lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Xác suất để thẻ chọn ra ghi số chia hết cho 4 là
Một nhà máy sản xuất laptop tiến hành kiểm tra chất lượng của 500 chiếc laptop được sản xuất và thấy có 6 chiếc bị lỗi. Trong một lô hàng có 1200 chiếc laptop. Hãy dự đoán xem có khoảng bao nhiêu chiếc laptop bị lỗi.
