Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B.\) Biết \(AD = 2a,\,AB = BC = SA = a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy, gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo \(a.\)
+ Sử dụng phương pháp: Nếu đường thẳng // mặt phẳng thì khoảng cách giữa các điểm thuộc đường thẳng đó đến mặt phẳng sẽ bằng nhau.
+ Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của chóp.
Ta có:
\(\frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right).\)
Vì \(M\)là trung điểm của \(AD\) nên có: \(AM = MD = \frac{1}{2}AD = a.\)
Tứ giác \(ABCM\) có: \(BC//AM\,\,\left( {gt} \right)\) và \(BC = AM = a\) nên nó là hình bình hành.
Suy ra: \(CM = AB = a.\)
Tam giác \(ACD\) có \(CM\) là đường trung tuyến và \(CM = AM = MD = \frac{1}{2}AD\) nên tam giác \(ACD\)là tam giác vuông tại \(C.\)
Suy ra: \(CD \bot AC.\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\CD \bot SA\,\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right).\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAC} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAC} \right).\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right).\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC\\AH \bot SC\\AH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right).\)
Suy ra: \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH.\)
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = a\) nên \(AC = a\sqrt 2 .\)
Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\,\,\left( {do\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) có :
\(AH = \frac{{AS.AC}}{{\sqrt {A{S^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a.\,a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Suy ra: \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Suy ra: \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\)
Vậy \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\)
Đáp án
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số: \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|\).
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình\(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} + \frac{5}{2}{t^2} + 10t\), trong đó \(t > 0\) với \(t\) tính bằng giây (s) và \(s\) tính bằng mét (m). Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất.
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{12}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}}\).
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = {t^2} + 2t\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = 3s\)bằng.
Cho hàm số \(y = 2\sin x - 3\cos x + 3\)có đạo hàm\(y' = a\cos x + b\sin x + c\).Khi đó \(S = 2a + b - c\) có kết quả bằng:
Hàm số \(y = \sqrt {2 + 2{x^2}} \)có đạo hàm \(y' = \frac{{a + bx}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}\). Khi đó \(S = a - 2b\) có kết quả bằng
Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu xanh bằng:
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right).\)Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập số thực. Tìm hệ thức đúng
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(SA = SC\). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Khi đó, góc giữa SH và MP bằng bao nhiêu độ?: