Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{ - {u_n} + 1}}{{2{u_n}}},n \ge 1,n \in \mathbb{N}\end{array} \right.\). Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.
Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).
Với mọi \(n \ge 1,n \in \mathbb{N}\) ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{ - {u_n} + 1}}{{2{u_n}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} + 1 = \frac{{ - {u_n} + 1}}{{2{u_n}}} + 1 = \frac{{{u_n} + 1}}{{2{u_n}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{{2{u_n}}}{{{u_n} + 1}} = - \frac{2}{{{u_n} + 1}} + 2 \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} - \frac{2}{3} = - \frac{2}{{{u_n} + 1}} + \frac{4}{3} = - 2\left( {\frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3}} \right)\)
Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3}\) với mọi \(n \ge 1,n \in \mathbb{N}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} - \frac{2}{3},n \ge 1,n \in \mathbb{N}\\{v_1} = \frac{1}{{{u_1} + 1}} - \frac{2}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_{n + 1}} = - 2{v_n},n \ge 1,n \in \mathbb{N}\\{v_1} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\)
Do đó, \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = \frac{{ - 1}}{3}\) và công bội \(q = - 2\)
Số hạng tổng quát của \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 1}} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\)\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}} - 1 = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}} = \frac{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{2 - {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}\)
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: \({u_n} = \frac{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{2 - {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm các giá trị của tham số a để \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {4{n^2} - 5n + 8} + a - 2n} \right) = 1\).
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. J, K lần lượt thuộc BC, AD sao cho \(\frac{{BC}}{{BJ}} = \frac{{DA}}{{DK}} = 2\). Chứng minh rằng SC//( MJK).
Cho hàm số \(y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\). Chứng minh rằng \(\frac{2}{{11}} \le y \le 2\)
Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác nào trong các góc lượng giác dưới đây có cùng điểm cuối, cùng điểm đầu với góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{4}\).
Nếu \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0\) thì \(\alpha \) thuộc góc phần tư nào?
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số khác 0 thỏa mãn tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}\) không đổi thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {2020^n}\). Tính \({u_{n + 1}}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Mệnh đề nào đúng?