Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = a\sqrt b \) (với a, b là các số nguyên). Chọn đáp án đúng.
- A. \({a^2} + {b^2} = 13\).
- B. \({a^2} + {b^2} = 9\).
- C. \({a^2} + {b^2} = 6\).
- D. \({a^2} + {b^2} = 11\).
Đáp án : A
Sử dụng kiến thức về giới hạn hàm số để làm: Nhận thấy \(x = \sqrt 3 \) là nghiệm của cả tử thức và mẫu thức nên ta cần rút phân thức trước khi tính giới hạn.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } \right) = \sqrt 3 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \)
Do đó, \(a = 2,b = 3\). Suy ra: \({a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Tính giới hạn sau: \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {3 + x} - 4x}}{{2x - 2}}\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD. M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho \(MB = 2MC\). Chứng minh rằng MG // (ACD)
Cho hai số thực a và b thỏa mãn điều kiện \(\sin \left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a - b} \right) = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}}\).
Chứng minh rằng dãy số \({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}\) tăng và bị chặn trên.
Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành được cho bằng mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Tần số của nhóm \(\left[ {30;40} \right)\) là:
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a > 0\). Chọn đáp án đúng