Bài 7 trang 105 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện \(SABC\) có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Trong mặt phẳng \((SAB)\) kẻ \(AM\) vuông góc với \(SB\) tại \(M\). Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}.\) Chứng minh rằng:

a) \(BC ⊥ (SAB)\) và \(AM ⊥ (SBC)\);

b) \(SB ⊥ AN\).

Lời giải chi tiết

a) \(SA ⊥ (ABC) \Rightarrow SA ⊥ BC\) (1),

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(BC ⊥ AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAB)\).

 \(BC ⊥ (SAB)\) nên \(BC ⊥ AM\) (3)

\( AM ⊥ SB\) (giả thiết) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AM ⊥ (SBC)\).

b) \(AM ⊥ (SBC)\) nên \(AM\bot SB\) (5)

\(\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}\) nên theo định lí ta lét ta có: \(MN// BC\)

\(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SB\\
BC//MN
\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot SB\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(SB\bot (AMN)\) suy ra \(SB\bot AN\)

Nhận xét: Hình chóp trong các bài 4; 6; 7 thuộc loại hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (do đó nó có hai mặt bên vuông góc với đáy).

xemloigiai.com