Bài 58 trang 25 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng ${n^3} - n$ chia hết cho $6$ với mọi số nguyên $n.$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${n^3} - n = n({n^2} - 1) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)$

Với $n ∈\mathbb Z$ thì $\left( {n - 1} \right), n, \left( {n + 1} \right)$ là ba số nguyên liên tiếp.

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chẵn nên $n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)$ chia hết cho $2$

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên $n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)$ chia hết cho $3$

Do đó tích $n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)$ chia hết cho cả $2$ và $3$.

Mà $2$ và $3$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho $6$ hay ${n^3} - n$ chia hết cho $6$ với mọi số nguyên $n.$

xemloigiai.com