Giải bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.Tính thể tích của khối tròn xoay. Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt \(\widehat {POM} = \alpha \) và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha \le {\pi \over 3},R > 0} \right)\) Gọi LG a a) Tính thể tích của Phương pháp giải: Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng \(OM, \, \, MP\) và trục hoành. +) Xác định phương trình đường thẳng \(OM\) và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \) \(\Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\) \( \Rightarrow \) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(y=x.\tan \alpha .\) Mà \(O\) cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng \(OM\) là \(y=x.\tan \alpha .\) Khi đó thể tích của khối tròn xoay là: \(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx} \\= \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\ = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right).\left( {dvtt} \right).\end{array}\) Cách khác: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP = R\cos \alpha \\MP = R\sin \alpha \end{array} \right.\) Khi quay tam giác \(OPM\) quanh trục \(Ox\) ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = MP = R\sin \alpha \) và chiều cao \(h = OP = R\cos \alpha \) Thể tích khối nón là: \(\begin{array}{l} LG b b) Tìm \(α\) sao cho thể tích Phương pháp giải: Tính được thể tích của khối tròn xoay Lời giải chi tiết: Xét hàm số: \(V (\alpha) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - co{s^3}\alpha } \right).\) Đặt \( t = \cos \alpha .\) Với \(\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\) Khi đó ta xét hàm: \(V\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\) trên \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\) Có: \(V'\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \) \(\Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\) Ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \) \(\Leftrightarrow \alpha = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\). Vậy thể tích khối xemloigiai.com
|