Bài 4 trang 91 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho góc vuông \(xOy\), điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(B\) thuộc tia \(Oy.\) Đường trung trực của đoạn thẳng \(OA\) cắt \(Ox\) ở \(D\), đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(OB\) cắt \(Oy\) ở \(E.\) Gọi \(C\) là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:

a) \(CE = OD\); b) \(CE ⊥ CD\);

c) \(CA = CB\); d) \(CA // DE\);

e) Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(Ox \perp Oy\) và \(CE \perp Oy\) \( \Rightarrow EC // Ox\) (1)\(\Rightarrow \widehat {ODE} = \widehat {CED}\) (so le trong)

Vì \(Oy \perp Ox\) và \(CD \perp Ox\) \( \Rightarrow DC // Oy\) (2) \(\Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {OED}\) (so le trong)

Xét \(\Delta DOE\) và \(\Delta ECD\) có:

+) \(DE\) chung

+) \( \widehat {OED}=\widehat {CDE} \) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {ODE} = \widehat {CED}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta DOE = \Delta ECD\) (g.c.g).

\( \Rightarrow OD = CE\) (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có \(CE // Ox\) (do (1)). Mà \(CD \perp Ox\) 

\(\Rightarrow CD \perp CE\) (đpcm).

c) Vì \(C\) nằm trên đường trung trực của \(OA\) nên \(CA = CO\) (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (3)

Vì \(C\) nằm trên đường trung trực của \(OB\) nên \(CB = CO\) (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow CA = CB\) (điều phải chứng minh).

d) Xét hai tam giác vuông \(DAC\) và \(CED\) ta có:

+) \(CD\) cạnh chung

+) \( \widehat {ADC} = \widehat {ECD} = 90^o \)

+) \( AD = CE\) (do \(OD = DA = CE\))

Vậy \(∆DAC = ∆CED\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \; \widehat {ACD} = \widehat {EDC} \) (hai góc tương ứng).

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow CA // DE\) (đpcm).

e) Chứng minh tương tự như câu d \(\Rightarrow CB // DE\).

Xét hai tam giác \(CEB\) và \(DOE\) ta có:

+) \(OE=EB\) (do E là trung điểm cạnh OB)

+) \( \widehat {CEB} = \widehat {DOE} = 90^o \)

+) \( OD = CE\) (theo câu a)

Vậy \(∆CEB = ∆DOE\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \; \widehat {DEO} = \widehat {CBE} \) (hai góc tương ứng).

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

\(\Rightarrow CB // DE\)

Do đó theo tiên đề Ơ-clit ta được hai đường thẳng \(BC\) và \(CA\) trùng nhau hay \(A, B, C\) thẳng hàng.