Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng

Đề bài

Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \({G_{A}}^{}\), \({G_{B}}^{}\), \({G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, ABD, ABC\). Chứng minh rằng, \(A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\) đồng quy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sủ dụng kết quả bài tập 3:

Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\).

+ \({G_A}\) là trọng tâm \(\Delta BCD\)

⇒ \({G_A}\) thuộc trung tuyến \(BN\; \subset \;\left( {ANB} \right)\)

⇒ \({AG_A} ⊂ (ANB)\)

\({G_B}\) là trọng tâm \(ΔACD\)

⇒ \({G_B}\) thuộc trung tuyến \(AN ⊂ (ANB)\)

⇒ \({BG_B} ⊂ (ANB).\)

Trong \(\left( {ANB} \right):{\rm{ }}A{G_A}\) không song song với \({BG_B}\)

⇒ \({AG_A}\) cắt \({BG_B}\) tại \(O\)

+ Chứng minh tương tự: \({BG_B}\) cắt \(C{G_C};{\rm{ }}C{G_C}\) cắt \({AG_A}\).

+ \(C{G_C}\) không nằm trong \(\left( {ANB} \right)\; \Rightarrow \;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\;\) không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.

Áp dụng kết quả bài 3 \( \Rightarrow {\rm{ }}A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\) đồng quy tại \(O\)

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: \(\;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}D{G_D}\) đồng quy tại \(O\)

Vậy \(A{G_A};{\rm{ }}B{G_B}\;;{\rm{ }}C{G_C};{\rm{ }}D{G_D}\) đồng quy tại \(O\) (đpcm).

 

xemloigiai.com

  • Bài 5 trang 53 SGK Hình học 11

    Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm đoạn SC.

  • Bài 6 trang 54 SGK Hình học 11

    Cho bốn điểm A,B,C và D không đồng phẳng. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP=2PD

  • Bài 7 trang 54 SGK Hình học 11

    Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC

  • Bài 8 trang 54 SGK Hình học 11

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD

  • Bài 9 trang 54 SGK Hình học 11

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành...

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

close