Giải bài 4 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải phương trình \(\displaystyle {{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(\sin 2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \dfrac{\pi }{2}+k2 \pi \) \(\Leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi }{4}+k \pi(k\in \mathbb{Z})\)

\(\displaystyle {{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\)

\(\Rightarrow 2\cos 2x=0\) 

\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Kiểm tra ĐK:

\(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} \ne \dfrac{\pi }{4} + l\pi \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{k\pi }}{2} \ne l\pi \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} \ne l\)

\(\Leftrightarrow k \ne 2l\)

Hay \(k\) không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên \(k = 2m + 1\).

Vậy \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)\pi }}{2} = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi \).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi ,m\in Z \).

Chú ý: Nghiệm \(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi \) cũng có thể viết thành \(x = - \dfrac{\pi }{4} + n\pi \) bằng cách đặt \(m = n - 1\).

Các em cũng có thể vẽ đường tròn đơn vị để loại nghiệm như sau:

Các điểm biểu diễn \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là \({M_1},{M_2}\) nhưng điều kiện là \(x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\) là \({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}\) nhưng do không lấy hai điểm \({M_1},{M_2}\) nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn \({M_3},{M_4}\).

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua \(O\) và \(\widehat {AO{M_4}} = - \dfrac{\pi }{4}\) nên nghiệm của phương trình là \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

xemloigiai.com