Bài 39 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này. 

Lời giải chi tiết

Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là: \(AB.AD = 2a^2\)

Chu vi hình chữ nhật là: \(2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a\)

Độ dài AB, CD có tổng là 3a, tích là \(2.a^2\) nên độ dài \(AB\) và \(CD\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2}-{\rm{ }}3ax{\rm{ }}+{\rm{ }}2{a^2} = {\rm{ }}0\)

\(\begin{array}{l}
{x^2} - ax - 2ax + 2{a^2} = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - a} \right) - 2a\left( {x - a} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x - 2a} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = a\\
x = 2a
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vì \(AB > AD\) nên ta chọn \(AB = 2a; AD = a\)

Khi quay hình chữ nhật quanh \(AB\) ta được hình trụ có \(h=AB=2a\) và \(r=AD=a.\)

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .a.2a = 4{\rm{ }}\pi {a^2}\)

Thể tích hình trụ là:

\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}A{D^2}.{\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{a^2}.{\rm{ }}2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {a^3}\)