Bài 3 trang 113 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng

Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha)\) cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\). Một đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) tại \(A\). Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\);

b) Mặt phẳng \((ABD)\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD)\);

c) \(HK//BC\) với \(H\) và \(K\) lần lượt là giao điểm của \(DB\) và \(DC\) với mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \, \bot \, BC\) (1)

\(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) nên \(AD \, \bot \, BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \, \bot \, (ABD)\) suy ra \(BC \, \bot \, BD\)

\(\left. \matrix{
(ABC) \cap (DBC) = BC \hfill \cr
BD \, \bot \, BC \hfill \cr
AB \,\bot \, BC \hfill \cr} \right\} \)

\(\Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\) là góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(BA\)

Mà \(DA \, \bot \, \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \, \bot \, AB\) \( \Rightarrow \widehat {ABD} < {90^0}\)

Vậy \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\).

b)

\(\left. \matrix{
BC\, \bot \, (ABD) \hfill \cr
BC \, \subset \, (BCD) \hfill \cr} \right\}\) \( \Rightarrow (ABD) \, \bot \, (BCD)\)

c) Do \((P)\) đi qua \(A, H, K\) nên mặt phẳng \(\left( P \right) \equiv \left( {AHK} \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\) nên \(HK\bot BD\)

Trong \((BCD)\) có: \(HK \, \bot \, BD\) và \(BC \, \bot \, BD\) nên suy ra \(HK \, // \,BC\).

Chú ý:

Từ chứng minh trên ta có thể suy ra cách dựng \((P)\) như sau:

Trong \((DAB),\) qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(DB\) cắt \(DB\) tại \(H.\)

Trong \((DBC)\), kẻ đường thẳng qua \(H\) và vuông góc với \(DB\) cắt \(DC\) tại \(K.\)

Từ đó ta có \((P)\) chính là \((AHK).\)

xemloigiai.com

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

close