Bài 28 trang 80 SGK Toán 8 tập 1Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thằng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K. Đề bài Cho hình thang \(ABCD\) (\(AB // CD\)), \(E\) là trung điểm của \(AD,\) \(F\) là trung điểm của \(BC.\) Đường thẳng \(EF\) cắt \(BD\) ở \(I,\) cắt \(AC\) ở \(K.\) a) Chứng minh rằng \(AK = KC, BI = ID.\) b) Cho \(AB = 6\,cm, CD = 10\,cm.\) Tính các độ dài \(EI, KF, IK.\) Phương pháp giải - Xem chi tiết Áp dụng: - Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. - Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên. - Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy. - Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. - Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Lời giải chi tiết
a) Hình thang \(ABCD\) có \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) (giả thiết) \( \Rightarrow EF\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang ) \( \Rightarrow EF // AB // CD\) (tính chất đường trung bình của hình thang) \( \Rightarrow FK//AB, EI//AB\) Xét \(∆ABC\) có: \(F\) là trung điểm của \(BC\) (giả thiết) và \(FK // AB\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow AK = KC\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ) Xét \(∆ABD\) có: \(E\) là trung điểm của \(AD\) (giả thiết) và \(EI // AB\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow DI = IB\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ). b) Vì \(EF\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) (chứng minh trên) nên \(EF = \dfrac{AB+CD}{2} = \dfrac{6+10}{2} = 8\,cm\) (tính chất đường trung bình của hình thang) Xét \(∆ABD\) có: \(AE = ED\) (giả thiết) và \(DI = IB\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow EI\) là đường trung bình của \(∆ABD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác) \( \Rightarrow EI = \dfrac{1}{2}.AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\; (cm)\) (tính chất đường trung bình của tam giác) Xét \(∆ABC\) có: \(BF = FC\) (giả thiết) và \(AK = KC\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow KF\) là đường trung bình của \( ∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác) \( \Rightarrow KF = \dfrac{1}{2}.AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\; (cm)\) (tính chất đường trung bình của tam giác) Lại có \(EF = EI + IK + KF\) nên \(IK = EF - (EI + KF) = 8 - (3 + 3)\)\(\, = 2 \;(cm).\) xemloigiai.com
|