Bài 16 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng caoTrong không gian Oxyz cho hai điểm Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 3 ; 1), B(0 ; 2 ; 1) và mặt phẳng \(\left( P \right):x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\) LG 1 Viết phương trình đựờng thẳng AB. Lời giải chi tiết: Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;2;-4) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1; - 1;2).\) thẳng d2 đi qua điểm M1(-8;6;10) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = (2;1; - 1).\) Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3),\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 8;4;14) \) \(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 70 \ne 0\) \( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) chéo nhau. LG 2 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P). Lời giải chi tiết: Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. Khi đó \(mp(\alpha )\) qua điểm \({M_2}( - 8;6;10)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3)\) \( \Rightarrow \left( \alpha \right):x - 5y - 3z + 68 = 0.\) LG 3 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) mà mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B. Lời giải chi tiết: \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d({M_1},\left( \alpha \right) \) \(= {{\left| {0 - 10 + 12 + 68} \right|} \over {\sqrt {1 + 25 + 9} }} = {{70} \over {\sqrt {35} }} = 2\sqrt {35} .\) LG 4 Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d. Lời giải chi tiết: Viết lại phương trình đường thẳng \({d_1},{d_2}\) dưới dạng tham số. Từ đó : \(M \in {d_1}\) nên M=(t;2-t;-4+2t) \(N \in {d_2}\) nên N=(-8+2t’;6+t’;10-t’) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).\) Đường thẳng MN sẽ là đường thẳng d phải tìm khi \(MN\parallel Ox\) hay hai vec tơ \(\overrightarrow {MN} \)và \(\overrightarrow i (1;0;0)\) cùng phương, nghĩa là \(\left\{ \matrix{ t' + t = - 4 \hfill \cr t' + 2t = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = 18 \hfill \cr t' = - 22. \hfill \cr} \right.\) Vậy M=(18;-16;32) và đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số : \(d:\left\{ \matrix{ x = 18 + t \hfill \cr y = - 16 \hfill \cr z = 32. \hfill \cr} \right.\) LG 5 Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB \(\left( {K \ne B} \right)\) sao cho \(d\left( {K,\left( P \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {B,\left( P \right)} \right).\) Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & A \in {d_1} \Rightarrow A = (t;2 - t; - 4 + 2t), \cr & B \in {d_2} \Rightarrow B = ( - 8 + 2t';6 + t';10 - t'), \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t). \cr & \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_1}} \Leftrightarrow 6t + t' = 16, \cr & \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow t + 6t' = 26. \cr} \) Giải hệ \(\left\{ \matrix{ 6t + t' = 16 \hfill \cr t + 6t' = 26 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t' = 4 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow A = (2;0;0) ; B = (0;10;6). \) Suy ra mặt cầu đườn kính AB có tâm I=(1;5;3), bán kính bằng \(\sqrt {35} \). Phương trình của nó là : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 35.\) LG 6 Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
|