Bài 13 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA' = a\), đáy \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = BD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt đáy trùng với điểm \(O\) là giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính thể tích của khối hộp.

Lời giải chi tiết

\(AB = B{\rm{D}} = A{\rm{D}} = a \Rightarrow \Delta ABD\) đều\( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {60^ \circ }\)

\(O\) là trung điểm của \(BD\)\( \Rightarrow AO = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AO\\ \Rightarrow A'O = \sqrt {AA{'^2} - A{O^2}} = \frac{a}{2}\end{array}\)

\({S_{ABC{\rm{D}}}} = AB.A{\rm{D}}.\sin \widehat {BA{\rm{D}}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

\({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABC{\rm{D}}}}.A'O = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)