Bài 12 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm \(M,N\) lần lượt thuộc các đường chéo \(AC\) và \(BF\) sao cho \(MC = 2MA;NF = 2NB\). Qua \(M,N\) kẻ các đường thẳng song song với \(AB\), cắt các cạnh \(AD,AF\) lần lượt tại \({M_1},{N_1}\). Chứng minh rằng:

a) \(MN\parallel DE\);

b) \({M_1}{N_1}\parallel \left( {DEF} \right)\);

c) \(\left( {MN{N_1}{M_1}} \right)\parallel \left( {DEF} \right)\).

Lời giải chi tiết

+) Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài DM cắt AB tại O

Vì AO // DC nên \(\frac{{AO}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{OM}}{{MD}} = \frac{1}{2}\) (định lí Thales)

Suy ra AO=1/2AB =>\(AO = \frac{1}{2}AB\)

+) Gọi N’ là giao điểm của BF và OE, khi đó: \(\frac{{OB}}{{FE}} = \frac{{BN'}}{{N'F}} = \frac{{ON'}}{{N'F}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BN' = 2N'F\) nên N’ trùng N

+) Trong mặt phẳng (ODE), có: \(\frac{{OM}}{{DM}} = \frac{{ON}}{{NE}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra MN // DE (định lí Thales đảo).

b) Ta có: MM₁ // AB // DC nên \(\frac{{A{M_1}}}{{D{M_1}}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{1}{2}\).

Ta lại có: NN₁ // AB // EF nên \(\frac{{A{N_1}}}{{{N_1}F}} = \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(\frac{{A{M_1}}}{{D{M_1}}} = \frac{{A{N_1}}}{{{N_1}F}} = \frac{1}{2}\)Do đó M₁N₁ // DF

Mà DF ⊂ (DEF) nên M₁N₁ // (DEF).

c) Ta có: MN // DE, M₁N₁ // DF mà DE, DF ⊂ (DEF) và MN, M₁N₁ ⊂ (MNN₁M₁); DE và DF cắt nhau tại E nên (MNN₁M₁) // (DEF).